МИФы о математике

МИФы о математике

 

1. Математике научат в детском саду

НЕ научат.

"Родители (законные представители) несовершеннолетних обучающихся имеют преимущественное право на обучение и воспитание детей перед всеми другими лицами. Они обязаны заложить основы физического, нравственного и интеллектуального развития личности ребенка". 

Закон 273-ФЗ "Об образовании в РФ" 2016. Глава IV. Статья 44

"Педагогика есть четкая и всесторонняя система, придуманная отнюдь не глупыми людьми, добросовестно выполняющая безнравственный социальный заказ третьеэтапной застойной системы - воспитание стандартных, безынициативных, хорошо управляемых и принципиально аморальных "винтиков". [...] Главная задача педагога третьеэтапной системы - "занять" учеников на заданное время. Труд учеников подневольный, рабский, а педагог выполняет роль надсмотрщика. И как любой рабский труд, такое обучение предельно низкоэффективно." Б.Л.Злотин, А.В.Зусман "К творческой педагогике", статья в ЖУРНАЛЕ ТРИЗ (JOURNAL OF TRIZ) 2.2.91, 1991г., С.11-15 

2. Математику не понять 

Детям математику нужно объяснять, придерживаясь принципа "от простого к сложному"

Пример: «Распространено заблуждение, что для того, чтобы понимать математику, необходимо посвятить её изучению много лет. Некоторые люди верят, что они с рождения лишены способности её понять. Я не могу согласиться: большинство из нас слышали о таких концепциях, как Солнечная система, атомы и элементарные частицы, двойная спираль ДНК и многие другие. Для того, чтобы достичь элементарного понимания этих вещей, нам не требуются специальные курсы по физике и биологии. И никого не удивляет тот факт, что эти сложные идеи являются часть нашей культуры, нашего коллективного сознания. Точно так же каждому доступно понимание ключевых концепций и идей математики -нужно лишь, чтобы они были объяснены должным образом. Тогда не потребуется годами учить математику – во многих случаях можно сразу перейти к сути вопроса, пропустив скучные шаги». 
Френкель Э. Любовь и математика. Сердце скрытой реальности / Пер. с англ. Е.Шикарева. – СПб.: Питер, 2016 – С.15

3. Математик или физик НЕ может мыслить творчески, а только чёткими, конкретными фактами

О математическом творчестве говорили знаменитые математики - Анри Пуанкаре и Жак Адамар 

Пример: «В двадцатых годах американский психолог Росман провел анкетный опрос изобретателей. В анкете, в частности, был и такой вопрос: «Считаете ли вы, что изобретательские способности прирожденные или изобретательству можно учиться?» Семьдесят процентов изобретателей ответили: «Научиться изобретать нельзя. Чтобы стать изобретателем, нужно иметь природные дарования». При этом никто из отвечавших на анкету Росмана не мог толком объяснить, в чем они состоят, эти природные дарования». 
Альтшуллер Г.С., Алгоритм изобретения, М., «Московский рабочий», 1969 г., с. 28-36

4. Математика - это столбики скучных чисел, свалка формул, рецептов и заклинаний, скучные заголовки, столетиями не меняющиеся теоремы, ответы к заданиям, поджидающие в конце учебника

Математика - это эффективный инструмент для развития абстрактного мышления.

Пример: «Американский профессор Беррес Скиннер сделал доклад на тему «Наука учения и искусство преподавания», отвечавшего на свой же риторический вопрос: как относится большинство взрослых людей к математике, которой их учили в школе: «У них даже беглый взгляд на столбцы цифр, не говоря уже об алгебраических символах или интегралах, вызывает чувство беспокойства, вины, страха, но никак не математическое поведение»)» 
Источник: http://msk.treko.ru/show_dict_1548

Пример: «В умах большинства людей математика неразрывна связана с числами. Математики для них – это люди, которые целыми днями просиживают над расчетами и оперируют числами: большими числами. Огромными числами, числами с необычными, экстравагантными названиями».
Френкель Э. Любовь и математика. Сердце скрытой реальности / Пер. с англ. Е.Шикарева. – СПб.: Питер, 2016 – С.27 

5. Чтобы понимать математику, нужно родиться талантливым, математически способным / Математика в высшей степени непонятна

Математика - это труд в решении огромного количества задач

Пример: «Неудачи усвоения курса математики связаны не с отсутствием математических способностей, а с отсутствием прочных знаний фундаментальных понятий, с ленью ума, которая мешает систематической работе над материалом, и со стремлением все познание свести к запоминанию без понимания. В подавляющем большинстве случаев, когда говорят об отсутствии у учащегося математических способностей для познания обязательного курса, речь должна идти о другом - либо о неумении, либо о нежелании учиться» 
(с) Б.В. Гнеденко

Пример: Гриша начал очень много работать в девятом классе, и у него оказалось очень ценное для занятий математикой качество: способность к очень длительной концентрации внимания без особых успехов внутри задачи. Все-таки человеку нужна психологическая подпитка, нужны психологические успехи, чтобы заниматься чем-то дальше. Фактически гипотеза Пуанкаре – это почти девять лет без знания того, решится задача или не решится. Понимаете, там даже невозможны были частичные результаты. Не доказалась теорема в полном объеме – иной раз можно опубликовать даже двадцатистраничную статью, по тому, что все-таки получилось. А там – или пан, или пропал. Либо доказана гипотеза Пуанкаре, либо нет… Частичных результатов и до него получали много. Вот такая вот длительная концентрация внимания без надежды на успех – это замечательное качество Перельмана!»
С.Е.Рукшин.  Источник:http://polit.ru/article/2012/12/18/rukshin2/

6. Математику можно вызубрить

Нельзя. Математику нужно понимать. Геометрические доказательства не зубрят - их доказывают, понимая логику доказательства.

Пример: «Цель обучения математике состоит в том, чтобы сделать ум пытливым, подвижным, способным анализировать новые ситуации, находить подходы к решению возникающих проблем. Тот, кто делает ставку только на память, на зубрёжку, отключает мысль, разум от работы по познанию. Память обязана играть роль активного помощника разума». 
(с) Б.В. Гнеденко

Пример: Сравните ваши воспоминания об уроке алгебры с этим воспоминанием Бертрана Рассела (Bertrand Russell, 1872—1970 — английский философ, логик и математик):
«Меня заставляли учить наизусть: квадрат суммы двух чисел равен сумме их квадратов, увеличенной на их удвоенное произведение. У меня не было ни малейшего представления о том, что бы это могло значить; когда я не мог запомнить этих слов, учитель треснул меня книгой по голове, что, однако, ни капли не стимулировало мой интеллект».
Пол Локхард "Плач математика" Источник: https://nbspace.ru/math/#flk-lament-fn-14 

7. Математика описывает реальность

Математика - это интерсубъективный инструмент, придуманный человеком, который является основным для познания материального физического мира, хотя пробуксовывает на психологии и почти не применим к смыслу жизни.

Пример: Томас Гоббс “Человеческая природа” (1650) утверждал, что “Математическая деятельность мозга приводит к истинному знанию реального мира, и математическое знание есть истина. По существу реальность доступна нам только в форме математики”
Морис Клайн. Математика: Поиск истины: - М.: РИМИС, 2007. - с.13-14

Пример: "Джон Локк "Опыт о человеческом разуме" (1690) полагал, что математика устанавливает отношения между идеями, вскрывая необходимые связи между ними, а такие связи разум постигает лучше всего. [...] Мы познаем не реальную субстанцию внешнего мира, а лишь идеи, порождаемые ощущениями".
Морис Клайн. Математика: Поиск истины: - М.: РИМИС, 2007. - с.14-17 

8. В математике все понятия строго определяются

Не все. Что такое точка в строгом смысле?

Пример: "Определить все математические понятия невозможно. Одно определяется черед другое, другое - через третье и т.д.; где-то мы должны остановиться".
Предисловие к математике / Владимир Успенский. - СПб : ООО "Торгово-издательский дом "Амфора", 2015. - с.400

9. В математике всё строго доказывается из аксиом

Не всё.

Пример: "Достаточно открыть классический школьный учебник геометрии А.П. Киселёва... [...] Мы встречаем в этих учебниках доказываемые теоремы, но вряд ли (за исключением аксиомы о параллельных - она же пятый постулат Евклида) найдём какие-либо аксиомы. [...] Необходима честная констатация того наблюдения, что в реальной математике сплошь и рядом встречаются теоремы, доказываемые без опоры на какие бы то ни было аксиомы".
Предисловие к математике / Владимир Успенский. - СПб : ООО "Торгово-издательский дом "Амфора", 2015. - с.403 

МИФы преподавателей и родителей о том, чему необходимо учить детей

1. Дети, используя фантазию, смогут научитьсярешать нестандартные задачи. 

Для того, чтобы решать нестандартные задачи, необходимо прорешать МНОГО стандартных задач, научиться применять для решения задач разные алгоритмы и получать РЕЗУЛЬТАТЫ.

Пример: "...Умение перенести полученные ранее знания на решение новых задач, новых проблем. Это УРОВЕНЬ ТВОРЧЕСТВА” 
Беспалько В.П., Программированное обучение (дидактические основы), М., «Высшая школа», 1970 г.

2. Чтобы вырастить детей креативными, нужно учить их придумывать задачи.

Эмпирический научный подход основан не на придуманных задачах, а на экспериментальных данных (приборных измерениях).

Пример: “Представим себе простую ситуацию: мяч, выпущенный из руки, падает на землю. Почему он падает? В объяснение этого можно приводить бесчисленное множество гипотез. Галилей рекомендует поступить иначе. По мере того, как время, отсчитываемое от начала падения, увеличивается, растет и расстояние, пройденное мячом от начальной точки. На математическом языке и расстояние, проходимое мячом при свободном падении, и время, отсчитываемое от начала падения, называются переменными, ибо в процессе падения и то и другое изменяется. [...] Формула имеет вид s=gt2/2=4,9t2 (где g - 9,8 м/с2- ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли).[...] Эта математическая формула описывает то, что происходит, не объясняя причинной связи, т.е. ничего не говорит о том, почему мяч падает. Она лишь дает нам количественную информацию о том, как происходит падение мяча.[...] Много ли проку в “голых” математических формулах? Ведь они ничего не объясняют. Они просто описывают происходящее на точном языке. [...] Именно формулы оказались наиболее ценным знанием, которое людям удалось получить о природе.[...] Поразительные практические и теоретические достижения современной науки стали возможны вследствие того, что человечество накопило количественное описательное знание и научилось пользоваться им, а отнюдь не благодаря метафизическим, теологическим и даже механическим объяснениям причин наблюдаемых явлений. [...] Стремление Галилея сосредоточить все усилия на количественном описании явлений было весьма глубокой и плодотворной идеей научной методологии”. 
Морис Клайн. Математика: Поиск истины: - М.: РИМИС, 2007. - с.146-148 

3. Нужно мотивировать детей - и тогда они будут заниматься математикой.

Вместо мотивации нужна технология преподавания математики

Пример: «Деминг (Уильям Эдвард Деминг) просил участников семинара - а это были дядьки в галстуках, директора и топ-менеджеры, многие с дипломом MBA, перечислить все известные им способы мотивации. И записывал в столбик. Потом приглашал человека из зала, завязывал ему глаза и давал ему миску с шариками для пинг-понга - белыми и красными. И просил выбрать десять красных. Человек, понятное дело, не мог.
Тогда Деминг начинал идти по списку способов мотивации:
— Материальная мотивация! Я дам тебе 10 долларов, если ты выберешь только красные шарики!
— Отрицательная материальная мотивация! Я оштрафую тебя на 10 долларов, если ты выберешь хоть один белый шарик!
— Эмоциональная мотивация! Джонни, я верю в тебя, ты крутой парень! Я знаю, ты выберешь только красные шарики! Друзья, давайте хором: «Джонни! Джонни! Ты крутой! Ты справишься!»
— Карьерная мотивация! Я уговорю твоего начальника повысить тебя по службе, если ты выберешь только красные шарики!
— Мотивация отпуском! Я разрешу тебе уйти домой раньше, если ты выберешь только красные шарики!
Но, как ни удивительно, ни один из способов мотивации не помогал человеку выполнить задачу.
И тогда Деминг объяснял залу, что если нет чёткой технологии для выполнения работы, мотивация в лучшем случае даёт нестабильный результат, а чаще - помогает как мёртвому припарки. И дальше рассказывал о том, как наладить технологию».
Источник: https://vk.com/math_life?w=wall-95985896_645

4. Нужно скорее давать детям решать сложные алгебраические задачи.

Необходимо придерживаться принципа: от простого к сложному

Пример: "Сидят по 8-9 уроков в день с 8:30 до 16.00 — без спорта, свежего воздуха, всестороннего развития личности, ненавидя это все, ради создания иллюзии постижения сложной наукообразной программы. Списывают с доски сложные алгебраические задачи, так никогда и не поняв тему состава числа." 
Источник: http://mel.fm/2016/01/20/opinion

Пример: Семиклассник. По школьной программе - степени, одночлены, графики функций.В то же время полностью отсутствует навык количественного сравнения.
1) Не умеет складывать/вычитать (10-2=7)
2) Не знает таблицы умножения на 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
3) Не понимает, что такое числовая прямая (не знает, где на прямой находятся отрицательные числа и не умеет их складывать/вычитать). 

5. У учеников хорошего педагога с ходу получается решить все математические задачи.

Ученик должен ошибаться, ошибаться и ошибаться. И преодолевать ошибки - получать, в конце-концов, верный результат.

Пример: "Иногда начало математической карьеры вашего чада омрачается столкновением с каким-то сложным для овладения материалом. Это может быть деление в столбик или приведение простых дробей к общему знаменателю, - не важно, что именно, но в конце вы чаще всего слышите:"У МЕНЯ НЕ ПОЛУЧАЕТСЯ!"
Самым правильным ответом тут будет: "ПОКА не получается".
Это ПОКА не получается найти общий знаменатель.
Это ПОКА не получается правильно делить в столбик без остатка.
Волшебное слово из четырёх букв способствует тому, что в педагогике называется "установкой на динамическое развитие".Проще говоря, математика - это не то, что ты способен сделать с ходу, а то, чему необходимо научиться, как, например, игре на фортепиано." 
Р. Истуэй "Математика на ходу" М.: КоЛибри, Азбука-Аттикус, 2016. - С.15 

Базовые качества абстрактной математики

1. Универсальность

Одно и то же математическое понятие (например, "прямой угол") описывает множество разнообразных конкретных предметов, указывая на их общие свойства.

2. Объективность

Концепция математического языка не зависит от интерпретации. Понимание математики для всех, кто пользуется языком математики, одно и то же (в отличие от философских утверждений, где возможны различные интерпретации).

3. Долговечность

Теорема Пифагора для древних Греков означала то же самое, что и для нас. Все истинные утверждения вечны.

4. Математические идеи применимы к физике реального мира

Элементарные частицы из квантовой физики "ничем, по сути, не отличаются от круглых столов или снежинок, чье поведение в огромной степени опредялется их симметриями" Френкель Э. Любовь и математика. Сердце скрытой реальности / Пер. с англ. Е.Шикарева. – СПб.: Питер, 2016 – С.37

Первоисточник в соответсвии с гражданским кодексом ч.4: https://mathlife.ru/math_myth

© Братчикова Надежда Владимировна, 2017.  Все права защищены. Перепечатка, даже частичная, разрешена только со ссылкой на источник.

Использование текстов может осуществляться лишь с письменного разрешения автора. Основания: Гражданский кодекс РФ и международные нормы.

 

О

ТВЕТЫ на вопросы родителей

1. "Есть ли у моего ребёнка математические способности?" 

Вопрос в том, что мы понимаем под "математическими способностями", какова динамика их становления и контрольные точки (возраст ребёнка), в которых "способности" проявляются. 

Математические способности по академику А.Н. Колмогорову:

"А.Н. Колмогоров говорит ... о составе математических способностей, выделяя в этой связи: 

1) способность умелого преобразования сложных буквенных выражений, нахождения удачных путей для решения уравнений, не подходящих под стандартные правила, или, как это принято называть у математиков, вычислительные или "алгоритмические" способности; 

2) геометрическое воображение или "геометрическую интуицию"; 

3) искусство последовательного, правильного расчлененного логического рассуждения; в частности, хорошим критерием логической зрелости, совершенно необходимой математику, является понимание и умение правильно применять принцип математической индукции." 

Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников / Под редакцией Н.И. Чуприковой. - М.: Издательство "Институт практической психологии"; Воронеж: Издательство НПО "МОДЭК", 1998. - с.72

2. "Зачем нужны домашние задания?"

Ответ: 

1) От выполнения ребенком домашних заданий зависит скорость формирования навыка количественного сравнения (т.е. навык количественного сравнения коррелирует с навыком трудолюбия). 

2) Развитие способностей (в т.ч. математических) детей связано с образованием у детей множества привычек. Одна из них состоит в регулярности получения промежуточных результатов и их предъявление.

«Торндайк показал: Развивать сознание значит развивать множество частичных независимых друг от друга способностей, образовывать множество частичных привычек». 

Л.С.Выготский. Умственное развитие детей в процессе обучения. Сборник статей. М.: Государственное Учебно-педагогическое издательство, 1935 г. -  с.9

3. "Как заставить ребёнка делать домашнее задание?"

Ответ: собственным примером, присутствием рядом с ребёнком. Вам придётся вступить с ребёнком в конфликтную ситуацию - ситуацию переговоров. 

Переговоры могут быть направлены на поиск выгоды для обеих сторон, а могут нести сдерживающую угрозу... 

"В воспитании детей ярко проявляются некоторые аспекты сдерживания:
✔ важность рациональности и самодисциплины того, кого сдерживают,
✔ способность понимать услышанную угрозу и способность выделять её среди информационных помех и шума, а также
✔ решимость угрожающего воплотить угрозу в случае необходимости - и, что более важно,
✔ убежденность того, кому угрожают, в том, что угроза будет исполнена.
Существует аналогия между угрозой ребенку со стороны родителя и угрозой, которую богатая патерналистская страна адресует слабому и дезорганизованному правительству бедной страны, скажем, расширяя иностранную помощь и требуя в обмен на это "разумной" экономической политики или военного сотрудничества". 

Томас Шеллинг. Стратегия конфликта. - М.: ИРИСЭН, Социум, 2016. - с.23-24 

Использование сдерживающей угрозы для дошкольников НЕ эффективно по следующим причинам: 

1. Дети только учатся самодисциплине, они не рациональны.
2. Дети активно пользуются самой первой сформировавшейся у них психологической защитой "Отрицание".
3. Родители сострадательны и мягкосердечны.
4. Дети привыкли, что родители не выполняют обещанные угрозы. 

Поэтому рекомендую НЕ пользоваться угрозами при убеждении ребёнка выполнять домашнее задание.

4. "Не рано заниматься математикой с детьми 5-6 лет? Почему бы не подождать до школы?"

Ответ 1: Чтобы не терять времени. У вас ВСЕГО 4 ГОДА (5-9 лет)

После пяти с половиной лет, по Я.А. Пономареву, начинается интенсивное формирование способности действовать в уме.Именно эта способность лежит в основе отличия успевающих в школе детей от неуспевающих.Чем раньше (с 5-ти лет) ребенок начинает решать задачи для развития способности действовать в уме, тем легче ему учиться, тем интенсивнее будет развиваться абстрактное мышление. 

В эсперименте 1961 г. участвовали 800 школьников начальных классов, и Я.А. Пономаревым был сделаны выводы: 

1. К 4-му классу только половина учащихся достигает высших уровней развития способности действовать в уме, т.е. "Способ решения задач приближается к тому, который характерен для интеллектуально развитых взрослых. Действия систематичны, построены по замыслу, программированы развернутой программой, строго соотнесены с задачей и во всех случаях детерминированы ею." [Пономарев Я.А. Знания, мышление и умственное развитие. М.: Просвещение, 1967 - с.258]

2. Начиная с третьего класса (9 лет), к четвертому классу развитие способности действовать в уме существенно замедляется. Перестав тренировать способность действовать в уме, часть детей в 3-м и 4-х классах "либо совсем прекращает развитие, либо чрезмерно замедляет его. [...] Развитие некоторых детей, чаще всего тех, которые поступали в школу со сравнительно высокими показателями, в течение некоторого времени обучения в школе протекало успешно; однако затем оно неожиданно либо вообще прерывалось (дети при этом во всех других отношениях оставались совершенно нормальными, физически здоровыми), либо, более того, деградировало (но не больше, чем на один этап)." [Пономарев Я.А. Знания, мышление и умственное развитие. М.: Просвещение, 1967 - с.215, 230] 

Итак, у ребёнка всего 4 года на то, чтобы довести способность действовать в уме до максимума, для того, чтобы в 12 лет он мог 

✔овладевать знаниями любой степени сложности (при постановке логического генезиса знания);
✔ адекватно оперировать любыми усвоенными знаниями. 

"Паук